Audrey Terras – Fourier Analysis on Finite Groups and Applications

Argomenti del programma: Richiami su numeri complessi, aritmetica modulare e algebra lineare. Definizione di serie di Fourier. Lo spazio di Hilbert delle funzioni su Z_n a valori complessi: prodotto interno, funzioni delta, convoluzione. Caratteri di Z_n. Trasformata discreta di Fourier: proprietà, matrice associata, trasformata inversa, proprietà della convoluzione, teorema di Plancherel, esempi. Dominio delle frequenze.

Argomenti del programma: La Trasformata Discreta di Fourier: - Spazi vettoriali complessi e prodotti interni; - Lo spazio L^2(Z/nZ) delle funzioni dal gruppo Z/nZ al campo dei numeri complessi; - I caratteri di Z/nZ; - La Trasformata Discreta di Fourier (DFT); - Proprietà della DFT: linearità, il teorema di convoluzione, l'ortogonalità dei caratteri, la formula di inversione, la Formula di Parseval e il Teorema di Plancherel; - Traslazioni,…

Argomenti del programma: Richiamo sulle nozioni fondamentali sui campi finiti e le loro estensioni. Il campo di spezzamento di un polinomio su un campo finito. Elementi primitivi di un campo finito e l'LFSR (Linear Feedback Shift Register). Automorfismi di campi. Traccia e norma. Applicazioni alla crittografia simmetrica. Anello dei polinomi su un campo. Ideali iniziali. Basi di Groebner. Il problema dell’appartenenza ad un ideale.