Prof. Silvia Cingolani

Argomenti del programma: I numeri reali. Generalità sugli insiemi. Inclusione, unione, intersezione, complementare e prodotto cartesiano. Relazioni d’ordine. I numeri reali. Assiomi dei numeri reali. Retta reale. Completezza. Valore assoluto e distanza euclidea. Maggiorante, minorante, massimo e minimo di un sottoinsieme di R. Insiemi limitati superiormente o inferiormente. Teorema di esistenza dell’estremo superiore e inferiore.

Argomenti del programma: Calcolo differenziale. Funzioni Lipschtziane. Funzioni Hölderiane. Proposizioni. Derivata di una funzione di variabile reale. Esempi di natura geometrica e cinematica. Primi teoremi sulle funzioni derivabili, continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Teorema sulla derivata di funzioni composte e della funzione inversa. Derivabilità delle funzioni elementari. Retta tangente ad un grafico.

Argomenti del programma: Problemi variazionali in dimensione finita e in dimensione infinita. Richiami storici ai problemi variazionali classici. Problema di Didone. Problema della brachistocrona. Problema di Fermat o del tempo minimo. Principio di Dirichlet (Riemann). Controesempio di Weierstrass. Spazi funzionali. Richiami sugli spazi C^k e L^p. Elementi di teoria delle distribuzioni. Lo spazio L^1_loc.